El cálculo de variaciones aplicado a problemas de las ciencias sociales
Gutiérrez, José de Jesús;
Quintas, Isabel Irene Palabras clave (keywords):
modelación,
cálculo de variaciones,
minimización,
costos,
Euler condition,
modeling,
calculus of variations,
minimizing,
costs
PolÃtica y Cultura
No. 46; Otoño 2016
Págs. 211-230
Resumen
El presente documento esencialmente trata de ser una invitación para utilizar el cálculo de variaciones en problemas que emergen de las ciencias sociales, concretamente se presenta un problema ad hoc sobre la minimización de costos de una empresa que desea saber a qué tasa producir su producto en un tiempo determinado considerándose también los costos de almacenaje. En la primera parte se hace una exposición sobre la modelación matemática y métodos de optimización en general para diferentes áreas del conocimiento, modelos en tiempo continuo, discreto, en corte longitudinal y transversal, que considera variables continuas o discretas; posteriormente se plantea el problema general a resolver por el cálculo de variaciones y se presenta un bosquejo histórico de los antecedentes de esta rama de las matemáticas, algunos de sus precursores y los problemas que éstos atendieron, luego se expone una deducción formal de la ecuación de Euler que será utilizada para ilustrar su aplicación en un problema de minimización de costos considerando los costos de almacenaje en un tiempo determinado. En la parte final del documento se contrasta el resultado obtenido por medio de la ecuación de Euler contra una planeación a tasa de producción constante para diferentes costos de producción unitarios y se hace una estimación de los posibles ahorros obtenidos. La modelación matemática se presenta como un elemento que nos brinda la oportunidad de planear para la toma de decisiones con un mÃnimo de esfuerzo y recursos.
Abstract
An application of variational calculus: the costs minimization. This document try to promote the use of the variational calculus in optimization problems that come out from the decisions taking in several social sciences; in this case we are going to show it in an ad hoc problem where it is necessary determine the rate of production of some goods, taking into account both, the production cost and the storage fee. First, the mathematical modelling and the optimization methods are given, just
for continuous or discrete time models. Then, structure of the general problem to
be resolved with calculus of variations is introduced together with a brief historic
outline of this branch of mathematics, some of the forefathers and the problems they
addressed. The formal deduction of the Euler Equation is presented. This equation
will be used to resolve the application problem. At the end, the result obtained by
Euler condition is compared against the production at constant rate, and the savings.
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